Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 (x - 9) (x - 6)$

Paso 1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (3 x + 3 \cdot - 9) (x - 6)$

Paso 1.2

Multiplica $3$ por $- 9$ .

$f (x) = (3 x - 27) (x - 6)$

Paso 2

Expande $(3 x - 27) (x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 3 x (x - 6) - 27 (x - 6)$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 27 (x - 6)$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f (x) = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x - 27 x - 27 \cdot - 6$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 27$ por $- 6$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x - 27 x + 162$

Paso 3.2

Resta $27 x$ de $- 18 x$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 45 x + 162$

Paso 4

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 5

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 45}{2 (3)}$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 45}{2 (3)}$

Paso 5.3

Simplifica $- \frac{- 45}{2 (3)}$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $- 45$ y $3$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 45$ .

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{2 \cdot 3}$

Paso 5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{3 \cdot 2}$

Paso 5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{3 \cdot 2}$

Paso 5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 15}{2}$

Paso 5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{15}{2}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- - \frac{15}{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $\frac{15}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Paso 6

Evalúa $f (\frac{15}{2})$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{15}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{15}{2}) = 3 {(\frac{15}{2})}^{2} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{15^{2}}{2^{2}}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Paso 6.2.1.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{225}{2^{2}}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{225}{4}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $3 (\frac{225}{4})$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Combina $3$ y $\frac{225}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{3 \cdot 225}{4} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Paso 6.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 45 (\frac{15}{2})$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Combina $- 45$ y $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} + \frac{- 45 \cdot 15}{2} + 162$

Paso 6.2.1.5.2

Multiplica $- 45$ por $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} + \frac{- 675}{2} + 162$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675}{2} + 162$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $\frac{675}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - (\frac{675}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 162$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{675}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 162$

Paso 6.2.2.3

Escribe $162$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162}{1}$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $\frac{162}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{162}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{4} + \frac{162 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 675 \cdot 2 + 162 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 675$ por $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 1350 + 162 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $162$ por $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 1350 + 648}{4}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.5.1

Resta $1350$ de $675$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 675 + 648}{4}$

Paso 6.2.5.2

Suma $- 675$ y $648$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 27}{4}$

Paso 6.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{15}{2}) = - \frac{27}{4}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- \frac{27}{4}$ .

$- \frac{27}{4}$

Paso 7

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(\frac{15}{2}, - \frac{27}{4})$

Paso 8