Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

Paso 1

Comprueba si $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ es continua.

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Paso 1.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 2]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

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Paso 1.1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{4 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 x = 0$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 1.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 1.2

$f (x)$ es continua en $[1, 2]$ .

La función es continua.

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ es diferenciable.

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Paso 2.1

Obtén la derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 2.1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 2.1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 2.1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 2.1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Paso 2.1.1.3.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Paso 2.1.1.3.5

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Paso 2.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Paso 2.2

Obtén si la derivada es continua en $[1, 2]$ .

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Paso 2.2.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 2]$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

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Paso 2.2.1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{4 x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.1.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.1.2.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.1.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.2.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.2.1.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.2.1.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.1.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.2.1.2.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 2.2.2

$f' (x)$ es continua en $[1, 2]$ .

La función es continua.

Paso 2.3

La función es diferenciable en $[1, 2]$ porque la derivada es continua en $[1, 2]$ .

La función es diferenciable.

Paso 3

Para garantizar la longitud del arco, la función y su derivada deben ser ambas continuas en el intervalo cerrado $[1, 2]$ .

La función y su derivada son continuas en el intervalo cerrado $[1, 2]$ .

Paso 4

Obtén la derivada de $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 4.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 4.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Paso 4.3.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Paso 4.3.5

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Paso 5

Para obtener la longitud del arco de una función, usa la fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

Paso 6

Evalúa la integral.

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Paso 6.1

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

Paso 6.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

Paso 6.3

Multiplica $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.4.1.3

Suma $- 2$ y $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.4.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

Paso 6.5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Paso 6.6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Paso 6.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Paso 6.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Paso 6.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 6.10

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.10.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 6.10.2

Evalúa $- x^{- 1}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 6.10.3

Simplifica.

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Paso 6.10.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 6.10.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 6.10.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 6.10.3.4

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 6.10.3.5

Combina $4$ y $\frac{7}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 6.10.3.6

Multiplica $4$ por $7$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 6.10.3.7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Paso 6.10.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

Paso 6.10.3.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Paso 6.10.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

Paso 6.10.3.11

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

Paso 6.10.3.12

Para escribir $\frac{28}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 6.10.3.13

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 6.10.3.14

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.10.3.14.1

Multiplica $\frac{28}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 6.10.3.14.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 6.10.3.14.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Paso 6.10.3.14.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

Paso 6.10.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

Paso 6.10.3.16

Simplifica el numerador.

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Paso 6.10.3.16.1

Multiplica $28$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

Paso 6.10.3.16.2

Suma $56$ y $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

Paso 6.10.3.17

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{59}{6}$ .

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

Paso 6.10.3.18

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{59}{24}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{59}{24}$

Forma decimal:

$2.458\overline{3}$

Forma de número mixto:

$2 \frac{11}{24}$

Paso 8