Cálculo Ejemplos

$\frac{3}{x} - \frac{x}{y} = 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{x} - \frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Paso 2.3.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Paso 2.3.7

Multiplica $\frac{x}{y}$ por $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Paso 2.3.8

Suma $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ y $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina los términos.

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Paso 2.5.1.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.5.1.3

Para escribir $- \frac{3}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.5.1.4

Para escribir $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.5.1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{2} y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.5.1.5.1

Multiplica $\frac{3}{x^{2}}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.5.1.5.2

Multiplica $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Paso 2.5.1.5.3

Reordena los factores de $y^{2} x^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Paso 2.5.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 y^{2} - (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y') = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{2} (- x y') = 0$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x \cdot x^{2}) (- 1 y') = 0$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x^{1} x^{2}) (- 1 y') = 0$

Paso 5.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{1 + 2} (- 1 y') = 0$

Paso 5.2.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{3} (- 1 y') = 0$

Paso 5.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{3} y' = 0$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + 1 x^{3} y' = 0$

Paso 5.2.1.3.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + x^{3} y' = 0$

Paso 5.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.2.1

Suma $3 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} y + x^{3} y' = 3 y^{2}$

Paso 5.2.2.2

Suma $x^{2} y$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$

Paso 5.2.3

Divide cada término en $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Divide cada término en $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.2.3.3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x}$

Paso 5.2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{2} x}$

Paso 5.2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$