Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{x} (3 x - 2) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 3 x - 2$ y $d v = \sqrt{x}$ .

$(3 x - 2) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d x$

Paso 2.3

Combina $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $3$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} d x$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Paso 2.5

Factoriza $3$ de $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} d x$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d x$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d x$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} d x$

Paso 2.6.4

Divide $2 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (2 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Paso 6.2

Reescribe $(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ como $2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 6.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Paso 6.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 6.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 6.3.5

Para escribir $2 x^{\frac{5}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 6.3.6

Combina $2 x^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 6.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 6.3.8

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 6.3.9

Resta $4 x^{\frac{5}{2}}$ de $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 6.4

Reordena los términos.

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$