Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{2} x^{2} - x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - x d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Paso 6.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.6

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.8

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.2.3.8.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.8.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{7}{3} - (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 6.2.3.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{7}{3} - (2 - \frac{1}{2})$

Paso 6.2.3.10

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6.2.3.11

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 6.2.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.13.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{7}{3} - \frac{4 - 1}{2}$

Paso 6.2.3.13.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{7}{3} - \frac{3}{2}$

Paso 6.2.3.14

Para escribir $\frac{7}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 6.2.3.15

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 6.2.3.16

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.3.16.1

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 6.2.3.16.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 6.2.3.16.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 6.2.3.16.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6}$

Paso 6.2.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 \cdot 2 - 3 \cdot 3}{6}$

Paso 6.2.3.18

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.18.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{14 - 3 \cdot 3}{6}$

Paso 6.2.3.18.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{14 - 9}{6}$

Paso 6.2.3.18.3

Resta $9$ de $14$ .

$\frac{5}{6}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{6}$

Forma decimal:

$0.8\overline{3}$

Paso 8