Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ y $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}] - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia.

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Paso 3.6.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica.

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.6.2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.6.4

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.7

Eleva $e^{x} + e^{- x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.8

Eleva $e^{x} + e^{- x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 3.10.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.10.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.12.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.12.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.12.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.13

Diferencia.

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Paso 3.13.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.13.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.13.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.13.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.13.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.14

Eleva $e^{x} - e^{- x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.15

Eleva $e^{x} - e^{- x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.17

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18

Simplifica el numerador.

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Paso 3.18.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{x} + e^{- x}$ y $b = e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2

Simplifica.

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Paso 3.18.2.1

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + e^{- x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.2

Resta $e^{- x}$ de $e^{- x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.3

Suma $2 e^{x}$ y $0$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} - - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.5

Multiplica $- - e^{- x}$ .

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Paso 3.18.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + 1 e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.5.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.6

Resta $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (0 + e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.7

Suma $0$ y $e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.8

Suma $e^{- x}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} \cdot 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.9

Combina exponentes.

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Paso 3.18.2.9.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.9.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.18.2.9.2.1

Mueve $e^{- x}$ .

$\frac{4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 e^{- x + x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.9.2.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{4 e^{0}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 3.18.2.9.3

Simplifica $4 e^{0}$ .

$\frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$