Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} (x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 1}^{1} x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Paso 9

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Paso 10

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1})$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Paso 12.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $1$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Paso 12.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Paso 12.2.3

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $1$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Paso 12.2.4

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $1$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.6

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.7

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.7.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.7.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$0 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.12

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.14

Suma $1$ y $1$ .

$0 + 2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.15

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.16

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 + \frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.17

Suma $0$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.19

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.21

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.22

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.22.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.22.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.22.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.22.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.22.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.22.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.23

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.24

Suma $\frac{4}{3}$ y $0$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.25

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Paso 12.2.5.26

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5})$

Paso 12.2.5.27

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - - \frac{1}{5})$

Paso 12.2.5.28

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5}))$

Paso 12.2.5.29

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Paso 12.2.5.30

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} + 5 \frac{1 + 1}{5}$

Paso 12.2.5.31

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{2}{5})$

Paso 12.2.5.32

Combina $5$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

Paso 12.2.5.33

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{10}{5}$

Paso 12.2.5.34

Cancela el factor común de $10$ y $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.34.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

Paso 12.2.5.34.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.34.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Paso 12.2.5.34.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Paso 12.2.5.34.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{3} + \frac{2}{1}$

Paso 12.2.5.34.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{4}{3} + 2$

Paso 12.2.5.35

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 12.2.5.36

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Paso 12.2.5.37

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 12.2.5.38

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.38.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{4 + 6}{3}$

Paso 12.2.5.38.2

Suma $4$ y $6$ .

$\frac{10}{3}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{10}{3}$

Forma decimal:

$3.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$3 \frac{1}{3}$

Paso 14