Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{0.75} \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - 16 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{3}{4} \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{3 \cos (t)}{4} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \cos (t)}{4}$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 {(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{9 - 16 {(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $\sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 {(\frac{3 \sin (t)}{4})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sin (t)}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{4^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{4^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 \frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Factoriza $16$ de $- 16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 + 16 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.5.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 + 16 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.6

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $\sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3 \sin (t)}{4})}^{2}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sin (t)}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{4^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{4^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{4^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.3

Reescribe $\frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}{3 \cos (t)}$ como un producto.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{16} \cdot \frac{1}{3 \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.4

Multiplica $\frac{9 \sin^{2} (t)}{16}$ por $\frac{1}{3 \cos (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{16 (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.5

Multiplica $3$ por $16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{48 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.6

Cancela el factor común de $9$ y $48$ .

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Paso 2.2.2.3.6.1

Factoriza $3$ de $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{48 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $48 \cos (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{3 (16 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{3 (16 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin^{2} (t)}{16 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2.3.7

Multiplica $\frac{3 \sin^{2} (t)}{16 \cos (t)}$ por $\frac{3 \cos (t)}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin^{2} (t) (3 \cos (t))}{16 \cos (t) \cdot 4} d t$

Paso 2.2.2.3.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{16 \cos (t) \cdot 4} d t$

Paso 2.2.2.3.9

Multiplica $4$ por $16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{64 \cos (t)} d t$

Paso 2.2.2.3.10

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 2.2.2.3.10.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{64 \cos (t)} d t$

Paso 2.2.2.3.10.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{64} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{9}{64}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{9}{64}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{64} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{9}{64} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{64} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{9}{64}$ .

$\frac{9}{2 \cdot 64} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{9}{128} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{9}{128} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 10.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 10.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 10.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 10.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 10.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u))$

Paso 13

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$\frac{9}{128} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Paso 14.2

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{9}{128} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Paso 14.3

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Paso 15.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Paso 15.3

Suma $\sin (π)$ y $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (π))$

Paso 15.4

Combina $\sin (π)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Paso 16.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 16.2

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - 0)$

Paso 16.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} + 0)$

Paso 16.4

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{9}{128} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 16.5

Multiplica $\frac{9}{128} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Paso 16.5.1

Multiplica $\frac{9}{128}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9 π}{128 \cdot 2}$

Paso 16.5.2

Multiplica $128$ por $2$ .

$\frac{9 π}{256}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9 π}{256}$

Forma decimal:

$0.11044661 \dots$

Paso 18