Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Paso 1

Comprueba si $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ es continua.

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Paso 1.1

Para determinar si la función es continua en $[0, 1]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Paso 1.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 - x^{2} \geq 0$

Paso 1.1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.1.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 2$

Paso 1.1.2.2

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.2.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Paso 1.1.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.4.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Paso 1.1.2.5

Escribe $| x | \leq \sqrt{2}$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1.2.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 1.1.2.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Paso 1.1.2.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 1.1.2.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Paso 1.1.2.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Paso 1.1.2.6

Obtén la intersección de $x \leq \sqrt{2}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Paso 1.1.2.7

Resuelve $- x \leq \sqrt{2}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 1.1.2.7.1

Divide cada término en $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Divide cada término de $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.1.2.7.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.7.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Paso 1.1.2.7.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Paso 1.1.2.7.2

Obtén la intersección de $x \geq - \sqrt{2}$ y $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Paso 1.1.2.8

Obtén la unión de las soluciones.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Paso 1.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notación de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Paso 1.2

$f (x)$ es continua en $[0, 1]$ .

La función es continua.

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ es diferenciable.

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Paso 2.1

Obtén la derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 2.1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.7.3

Mueve ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 2.1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.1.1.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.1.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Paso 2.1.1.13

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.1.13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Paso 2.1.1.13.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 2.1.1.13.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.13.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.1.1.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Obtén si la derivada es continua en $[0, 1]$ .

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Paso 2.2.1

Para determinar si la función es continua en $[0, 1]$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 2.2.1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

Paso 2.2.1.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Paso 2.2.1.2

Establece el radicando en $\sqrt{2 - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 - x^{2} \geq 0$

Paso 2.2.1.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 2$

Paso 2.2.1.3.2

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.3.2.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.2.1.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.2.1.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.2.1.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Paso 2.2.1.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.3.4.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.3.5

Escribe $| x | \leq \sqrt{2}$ como una función definida por partes.

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Paso 2.2.1.3.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 2.2.1.3.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.3.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 2.2.1.3.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.3.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.2.1.3.6

Obtén la intersección de $x \leq \sqrt{2}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.3.7

Resuelve $- x \leq \sqrt{2}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 2.2.1.3.7.1

Divide cada término en $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.3.7.1.1

Divide cada término de $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 2.2.1.3.7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.3.7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 2.2.1.3.7.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 2.2.1.3.7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.7.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.3.7.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.3.7.2

Obtén la intersección de $x \geq - \sqrt{2}$ y $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Paso 2.2.1.3.8

Obtén la unión de las soluciones.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.4

Establece el denominador en $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

Paso 2.2.1.5

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1.5.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 2.2.1.5.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 2.2.1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.5.2.2.1

Simplifica ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.5.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.5.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 2.2.1.5.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 2.2.1.5.2.2.1.2

Simplifica.

$2 - x^{2} = 0^{2}$

Paso 2.2.1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.5.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.5.3

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1.5.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 2$

Paso 2.2.1.5.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.5.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.2.1.5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.5.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.2.1.5.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.2.1.5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.5.3.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Paso 2.2.1.5.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.5.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.1.5.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.5.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.5.3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 2.2.1.6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Notación de intervalo:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Paso 2.2.2

$f' (x)$ es continua en $[0, 1]$ .

La función es continua.

Paso 2.3

La función es diferenciable en $[0, 1]$ porque la derivada es continua en $[0, 1]$ .

La función es diferenciable.

Paso 3

Para garantizar la longitud del arco, la función y su derivada deben ser ambas continuas en el intervalo cerrado $[0, 1]$ .

La función y su derivada son continuas en el intervalo cerrado $[0, 1]$ .

Paso 4

Obtén la derivada de $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.7.3

Mueve ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Paso 4.8

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 4.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 4.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Paso 4.13

Simplifica los términos.

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Paso 4.13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Paso 4.13.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 4.13.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Para obtener la longitud del arco de una función, usa la fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

Paso 6