Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{3} x^{- 2} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{6}{x^{3}} d x$

Paso 6

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - (6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 7.2

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 7.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Paso 9.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $- x^{- 1}$ en $3$ y en $1$ .

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Paso 9.2.2

Evalúa $- \frac{1}{2 x^{2}}$ en $3$ y en $1$ .

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3} + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 9.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{3} + 1 - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 9.2.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 9.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 9.2.3.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{2}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 9.2.3.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 9.2.3.7

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 9.2.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Paso 9.2.3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Paso 9.2.3.10

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Paso 9.2.3.11

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.2.3.11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Paso 9.2.3.11.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Paso 9.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{- 1 + 9}{18}$

Paso 9.2.3.13

Suma $- 1$ y $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{8}{18})$

Paso 9.2.3.14

Cancela el factor común de $8$ y $18$ .

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Paso 9.2.3.14.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 (4)}{18}$

Paso 9.2.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.14.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Paso 9.2.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Paso 9.2.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{4}{9})$

Paso 9.2.3.15

Combina $- 6$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 6 \cdot 4}{9}$

Paso 9.2.3.16

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 24}{9}$

Paso 9.2.3.17

Cancela el factor común de $- 24$ y $9$ .

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Paso 9.2.3.17.1

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 (- 8)}{9}$

Paso 9.2.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.17.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

Paso 9.2.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

Paso 9.2.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 9.2.3.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 9.2.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 8}{3}$

Paso 9.2.3.20

Resta $8$ de $2$ .

$\frac{- 6}{3}$

Paso 9.2.3.21

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.21.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3}$

Paso 9.2.3.21.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.21.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Paso 9.2.3.21.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Paso 9.2.3.21.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{1}$

Paso 9.2.3.21.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 10