Cálculo Ejemplos

${(x + 1)}^{3} - x^{3}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x + 1)}^{3} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.5

Suma $1$ y $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 x^{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} + 3 {(x + 1)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$- 3 x^{2} + 3 ((x + 1) (x + 1))$

Paso 4.2.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Paso 4.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Paso 4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1)$

Paso 4.2.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 4.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Paso 4.2.5

Simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3$

Paso 4.3

Suma $- 3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$0 + 6 x + 3$

Paso 4.4

Suma $0$ y $6 x$ .

$6 x + 3$