Cálculo Ejemplos

$y = x^{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{e^{x}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.1.1

Reescribe $x^{e^{x}}$ como $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{e^{x}})$ ; para ello, mueve $e^{x}$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} \ln (x)$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 3.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 3.5

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 3.7.2

Combina los términos.

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Paso 3.7.2.1

Combina $e^{e^{x} \ln (x)}$ y $\frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 3.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 3.7.2.3

Multiplica $e^{e^{x} \ln (x)}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.2.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x} e^{e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Paso 3.7.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Paso 3.7.2.4

Para escribir $e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Paso 3.7.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Paso 3.7.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$