Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 3 x) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{4} \sqrt{x} + 3 x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{4} 3 x d x$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{4} 3 x d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 3 x d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + 3 \int_{0}^{4} x d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $4$ y en $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.7

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.11

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{16}{3} + 0 (\frac{2}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.12

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16}{3} + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.13

Suma $\frac{16}{3}$ y $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.14

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.15.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.15.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.16

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{0}{2})$

Paso 7.2.3.17

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.17.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 7.2.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.17.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{0}{1})$

Paso 7.2.3.17.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - 0)$

Paso 7.2.3.18

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 + 0)$

Paso 7.2.3.19

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 \cdot 8$

Paso 7.2.3.20

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{16}{3} + 24$

Paso 7.2.3.21

Para escribir $24$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + 24 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.22

Combina $24$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 + 24 \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.24

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.24.1

Multiplica $24$ por $3$ .

$\frac{16 + 72}{3}$

Paso 7.2.3.24.2

Suma $16$ y $72$ .

$\frac{88}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{88}{3}$

Forma decimal:

$29.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$29 \frac{1}{3}$

Paso 9