Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\sqrt{x}}$ como $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{\sqrt{x}})$ ; para ello, mueve $\sqrt{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

Paso 3

Reescribe $\sqrt{x} \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Paso 4.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Paso 4.1.3

Como el numerador es positivo y el denominador $\sqrt{x}$ se acerca a cero y es mayor que cero para $x$ cerca de $0$ a la derecha, la función aumenta sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 4.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Paso 4.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Paso 4.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

Paso 4.3.4

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

Paso 4.3.5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

Paso 4.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

Paso 4.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

Paso 4.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

Paso 4.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

Paso 4.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Paso 4.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

Paso 4.3.10.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

Paso 4.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

Paso 4.3.12

Simplifica.

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Paso 4.3.12.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

Paso 4.3.12.2

Combina los términos.

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Paso 4.3.12.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

Paso 4.3.12.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.5

Combina factores.

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Paso 4.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.5.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{- 2}{x}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Paso 4.6

Reduce.

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Paso 4.6.1

Factoriza $x$ de $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Paso 4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Paso 4.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Paso 4.6.2.3

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Paso 4.6.2.4

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Paso 4.6.2.5

Divide $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Mueve el exponente $\frac{1}{2}$ de $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 7.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.3.1

Cancela el factor común.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 7.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

Paso 7.1.4

Evalúa el exponente.

$e^{- 2 \cdot 0}$

Paso 7.1.5

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 7.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$