Cálculo Ejemplos

$y = x^{\cos (x)}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\cos (x)})$

Paso 2

Expande $\ln (x^{\cos (x)})$ ; para ello, mueve $\cos (x)$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (x)$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (x)$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2.4

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))$

Paso 3.2.6

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}) x^{\cos (x)}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{x} x^{\cos (x)}$

Paso 5.2

Combina $\frac{\cos (x)}{x}$ y $x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x)}}{x}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x^{\cos (x)}$ y $x$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x$ de $\cos (x) x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x}$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x^{1}}$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Paso 5.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x) - 1}}{1}$

Paso 5.3.2.5

Divide $\cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ por $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$

Paso 5.4

Reordena los factores en $- \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ .

$y' = - x^{\cos (x)} \sin (x) \ln (x) + x^{\cos (x) - 1} \cos (x)$