Cálculo Ejemplos

$\sqrt{1 + x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{1 + x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 5

Simplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Paso 5.1

Reorganiza los términos.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Paso 5.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 5.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 6

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Paso 6.1.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Paso 6.2

Suma $1$ y $2$ .

$\int \sec^{3} (t) d t$

Paso 7

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 8

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 9

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Paso 10

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 12.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 13

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Paso 14

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 14.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 14.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 15

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Paso 16

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Paso 17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Paso 18

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Paso 19

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Paso 21

Suma $2$ y $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Paso 22

Divide la única integral en varias integrales.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 23

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 24

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 25

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Paso 25.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Paso 26

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Paso 27

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Paso 28

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$

Paso 30

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$