Cálculo Ejemplos

$f (x) = x (x + 3)$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = x \cdot x + x \cdot 3$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = x^{2} + x \cdot 3$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Paso 3

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 5

Evalúa $f (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 5.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 5.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $3 (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 5.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Paso 5.2.1.6.2

Combina $- 3$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Paso 5.2.1.6.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Paso 5.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Paso 5.2.2

Para escribir $- \frac{9}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Paso 5.2.5.2

Resta $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Paso 5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

Paso 5.2.7

La respuesta final es $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{9}{4})$

Paso 7