Cálculo Ejemplos

$y = x \sqrt{x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Paso 4.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$