Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

Paso 2

Expande el lado derecho.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$ como $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2}) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{4} + 2)}^{2}) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = 2 \ln (x^{4} + 2) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$

Paso 2.3

Expande $\ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = 2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (x^{4} + 2)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{4} + 2)]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4} + 2$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{4} + 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{4} + 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3} + 0)) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.6

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.7

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4} + 2}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{4}{x^{4} + 2} x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.8

Combina $\frac{4}{x^{4} + 2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.9

Combina $2$ y $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 (4 x^{3})}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.3.10

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$ .

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Paso 3.2.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (x^{3} + 4)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 4)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 4)]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3} + 4$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3} + 4$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

Paso 3.2.4.2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

Paso 3.2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3} + 4$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

Paso 3.2.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]))$

Paso 3.2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]))$

Paso 3.2.4.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2} + 0))$

Paso 3.2.4.6

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2}))$

Paso 3.2.4.7

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{3} + 4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{3}{x^{3} + 4} x^{2})$

Paso 3.2.4.8

Combina $\frac{3}{x^{3} + 4}$ y $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 4}$

Paso 3.2.4.9

Combina $4$ y $\frac{3 x^{2}}{x^{3} + 4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{4 (3 x^{2})}{x^{3} + 4}$

Paso 3.2.4.10

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$

Paso 3.2.5

Combina los términos.

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Paso 3.2.5.1

Para escribir $\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} \cdot \frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$

Paso 3.2.5.2

Para escribir $\frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} \cdot \frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4} \cdot \frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$

Paso 3.2.5.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.5.3.1

Multiplica $\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2}$ por $\frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4} \cdot \frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$

Paso 3.2.5.3.2

Multiplica $\frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$ por $\frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)} + \frac{12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

Paso 3.2.5.3.3

Reordena los factores de $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)} + \frac{12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

Paso 3.2.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)} ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ de $(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) (1)} ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

Paso 5.1.2

Factoriza $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ de ${(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) (1)} ((x^{4} + 2) (x^{3} + 4) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3}))$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común.

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) \cdot 1} ((x^{4} + 2) (x^{3} + 4) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3}))$

Paso 5.1.4

Reescribe la expresión.

$y' = (8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = (8 x^{3} x^{3} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$y' = (8 (x^{3} x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = (8 x^{3 + 3} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$y' = (8 x^{6} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{2} x^{4} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.5.1

Mueve $x^{4}$ .

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 (x^{4} x^{2}) + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{4 + 2} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.5.3

Suma $4$ y $2$ .

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{6} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.2.6

Multiplica $2$ por $12$ .

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{6} + 24 x^{2}) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.3

Suma $8 x^{6}$ y $12 x^{6}$ .

$y' = (20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = (20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3} + 2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.5

Expande $(20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3} + 2 {(x^{3} + 4)}^{3})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y' = 20 x^{6} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Multiplica $x^{6}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1.1

Mueve $x^{4}$ .

$y' = 20 (x^{4} x^{6}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = 20 x^{4 + 6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.1.3

Suma $4$ y $6$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 \cdot 2 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.3

Multiplica $20$ por $2$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.4.1

Mueve $x^{4}$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 (x^{4} x^{3}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{4 + 3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.4.3

Suma $4$ y $3$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 \cdot 2 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.6

Multiplica $32$ por $2$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 (x^{4} x^{2}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{4 + 2} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.7.3

Suma $4$ y $2$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

Paso 5.6.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 \cdot 2 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$

Paso 5.6.9

Multiplica $24$ por $2$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 48 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$

Paso 5.7

Suma $40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3}$ y $24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3}$ .

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 48 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$