Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} + 4 x^{2}}}{x^{3} - 1}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{6} + 4 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4}) + 4 x^{2}}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4}) + x^{2} \cdot 4}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{4}) + x^{2} \cdot 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4} + 4)}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.2

Reescribe $9 x^{4}$ como ${(3 x^{2})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ({(3 x^{2})}^{2} + 4)}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{{(3 x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.4

Aplica la regla del producto a $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{3^{2} {(x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 {(x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 x^{2 \cdot 2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{3} - 1}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x \sqrt{9 x^{4} + 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{9 x^{4} + 4})}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{9 x^{4} + 4})}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5.2.2

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5.6

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5.7

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 7.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 7.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{1 - 0}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Divide $\sqrt{9 + 4 \cdot 0}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1 - 0}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - 0}$

Paso 9.2.2

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{1 - 0}$

Paso 9.2.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 - 0}$

Paso 9.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3}{1 - 0}$

Paso 9.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Paso 9.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3}{1}$

Paso 9.4

Divide $3$ por $1$ .

$3$