Cálculo Ejemplos

$x = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ , $1 \leq y \leq 2$

Paso 1

Comprueba si $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ es continua.

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Paso 1.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 2]$ o no, obtén el dominio de $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

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Paso 1.1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{4 y^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 y^{2} = 0$

Paso 1.1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $4 y^{2} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide cada término en $4 y^{2} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.1.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.1.2.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{4}$

Paso 1.1.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$y^{2} = 0$

Paso 1.1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 0$

Paso 1.1.2.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 1.1.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq 0}$

Paso 1.2

$f (y)$ es continua en $[1, 2]$ .

La función es continua.

Paso 2

Comprueba si $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ es diferenciable.

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Paso 2.1

Obtén la derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{4}}{8}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.2.4

Combina $\frac{4}{8}$ y $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 2.1.1.2.5.1

Factoriza $4$ de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{4 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 2.1.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 2.1.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 2.1.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 2.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.1.1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Paso 2.1.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Paso 2.1.1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Paso 2.1.1.3.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Paso 2.1.1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Paso 2.1.1.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Paso 2.1.1.3.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Paso 2.1.1.3.11

Combina $\frac{- 2}{4}$ y $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Paso 2.1.1.3.12

Mueve $y^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Paso 2.1.1.3.13

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 2.1.1.3.13.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Paso 2.1.1.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $4 y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Paso 2.1.1.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Paso 2.1.1.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Paso 2.1.1.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Paso 2.1.2

La primera derivada de $f (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Paso 2.2

Obtén si la derivada es continua en $[1, 2]$ .

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Paso 2.2.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 2]$ o no, obtén el dominio de $f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{2 y^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 y^{3} = 0$

Paso 2.2.1.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1.2.1

Divide cada término en $2 y^{3} = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1.1

Divide cada término en $2 y^{3} = 0$ por $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.1.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.1.2.1.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.1.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$y^{3} = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.2.1.2.3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.2.1.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.2.1.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$y = 0$

Paso 2.2.1.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq 0}$

Paso 2.2.2

$f' (y)$ es continua en $[1, 2]$ .

La función es continua.

Paso 2.3

La función es diferenciable en $[1, 2]$ porque la derivada es continua en $[1, 2]$ .

La función es diferenciable.

Paso 3

Para garantizar la longitud del arco, la función y su derivada deben ser ambas continuas en el intervalo cerrado $[1, 2]$ .

La función y su derivada son continuas en el intervalo cerrado $[1, 2]$ .

Paso 4

Obtén la derivada de $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{4}}{8}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{4}{8}$ y $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 4.2.5.1

Factoriza $4$ de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{4 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Paso 4.3.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Paso 4.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Paso 4.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Paso 4.3.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Paso 4.3.11

Combina $\frac{- 2}{4}$ y $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Paso 4.3.12

Mueve $y^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Paso 4.3.13

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 4.3.13.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Paso 4.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $4 y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Paso 4.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Paso 4.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Paso 4.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Paso 5

Para obtener la longitud del arco de una función, usa la fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}})}^{2}} d y$

Paso 6

Evalúa la integral.

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Paso 6.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1)}{y^{3}} d y$

Paso 6.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y$

Paso 6.2.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{3 \cdot - 1} d y$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3} d y$

Paso 6.3

Expande $(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3}$ .

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Paso 6.3.1