Cálculo Ejemplos

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1 & x < 1 \\ 2 & x = 1 \\ 7 - 5 x & x > 1 \end{cases}$

Paso 1

Obtén el límite de $x^{2} + 1$ a medida que $x$ se acerca a $1$ desde la izquierda.

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Paso 1.1

Cambia el límite bilateral a un límite izquierdo.

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + 1$

Paso 1.2

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Paso 1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Paso 1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + 1$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$1^{2} + 1$

Paso 1.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 1$

Paso 1.4.2

Suma $1$ y $1$ .

$2$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$2$

Paso 3

Como el límite de $x^{2} + 1$ a medida que $x$ se acerca a $1$ desde la izquierda es igual al valor de la función en $x = 1$ , la función es continua en $x = 1$ .

Continuo

Paso 4

Obtén el límite de $7 - 5 x$ a medida que $x$ se acerca a $1$ desde la derecha.

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Paso 4.1

Cambia el límite bilateral a un límite derecho.

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - 5 x$

Paso 4.2

Evalúa el límite.

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Paso 4.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Paso 4.2.2

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Paso 4.2.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$7 - 5 lim_{x \to 1^{+}} x$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$7 - 5 \cdot 1$

Paso 4.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$7 - 5$

Paso 4.4.2

Resta $5$ de $7$ .

$2$

Paso 5

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$2$

Paso 6

Como el límite de $7 - 5 x$ a medida que $x$ se acerca a $1$ desde la derecha es igual al valor de la función en $x = 1$ , la función es continua en $x = 1$ .

Continuo

Paso 7