Álgebra Ejemplos

$\frac{2 y^{2} - 7 y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \div \frac{y^{2} + 3 y - 10}{2 y^{2} - 9 y + 9}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{2 y^{2} - 7 y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 y$ .

$\frac{2 y^{2} - 7 (y) - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 7$ como $3$ más $- 10$

$\frac{2 y^{2} + (3 - 10) y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y^{2} + 3 y - 10 y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 y^{2} + 3 y) - 10 y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{y (2 y + 3) - 5 (2 y + 3)}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y + 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 y$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} - 8 (y) - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 8$ como $1$ más $- 9$

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} + (1 - 9) y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} + 1 y - 9 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 3.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} + y - 9 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y^{2} + y) - 9 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{y (3 y + 1) - 3 (3 y + 1)} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y + 1$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{{(3 y)}^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{{(3 y)}^{2} - 1^{2}}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 y$ y $b = 1$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 3^{2}} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 y$ y $b = 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{(2 y + 3) (2 y - 3)} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $2 y + 3$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{(2 y + 3) (2 y - 3)} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 5}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{2 y - 3} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $3 y + 1$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 5}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{2 y - 3} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 5}{y - 3} \cdot \frac{3 y - 1}{2 y - 3} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{y - 5}{y - 3}$ por $\frac{3 y - 1}{2 y - 3}$ .

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 7

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 y$ .

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 (y) + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 7.1.2

Reescribe $- 9$ como $- 3$ más $- 6$

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{2 y^{2} + (- 3 - 6) y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y - 6 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{(2 y^{2} - 3 y) - 6 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3)}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y - 3$ .

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{(2 y - 3) (y - 3)}{y^{2} + 3 y - 10}$

Paso 8

Factoriza $y^{2} + 3 y - 10$ con el método AC.

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Paso 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $3$ .

$- 2, 5$

Paso 8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{(2 y - 3) (y - 3)}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $(2 y - 3) (y - 3)$ .

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Paso 9.1

Factoriza $(2 y - 3) (y - 3)$ de $(y - 3) (2 y - 3)$ .

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(2 y - 3) (y - 3) (1)} \cdot \frac{(2 y - 3) (y - 3)}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 9.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(2 y - 3) (y - 3) \cdot 1} \cdot \frac{(2 y - 3) (y - 3)}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 9.3

Reescribe la expresión.

$(y - 5) (3 y - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 10

Expande $(y - 5) (3 y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(y (3 y - 1) - 5 (3 y - 1)) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(y (3 y) + y \cdot - 1 - 5 (3 y - 1)) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(y (3 y) + y \cdot - 1 - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(3 y \cdot y + y \cdot - 1 - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 11.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.2.1

Mueve $y$ .

$(3 (y \cdot y) + y \cdot - 1 - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 11.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(3 y^{2} + y \cdot - 1 - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 11.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$(3 y^{2} - 1 \cdot y - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 11.1.4

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$(3 y^{2} - y - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 11.1.5

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$(3 y^{2} - y - 15 y - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 11.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$(3 y^{2} - y - 15 y + 5) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 11.2

Resta $15 y$ de $- y$ .

$(3 y^{2} - 16 y + 5) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 12

Multiplica $3 y^{2} - 16 y + 5$ por $\frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$ .

$\frac{3 y^{2} - 16 y + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 13

Factoriza por agrupación.

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Paso 13.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 13.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 y$ .

$\frac{3 y^{2} - 16 (y) + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 13.1.2

Reescribe $- 16$ como $- 1$ más $- 15$

$\frac{3 y^{2} + (- 1 - 15) y + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 13.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{2} - 1 y - 15 y + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 13.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 13.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 y^{2} - 1 y) - 15 y + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 13.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{y (3 y - 1) - 5 (3 y - 1)}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 13.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y - 1$ .

$\frac{(3 y - 1) (y - 5)}{(y - 2) (y + 5)}$