Álgebra Ejemplos

$y = \frac{e^{x^{8}}}{2}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{e^{y^{8}}}{2}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$ .

$\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Paso 2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{y^{8}} = 2 x$

Paso 2.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y^{8}}) = \ln (2 x)$

Paso 2.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1

Expande $\ln (e^{y^{8}})$ ; para ello, mueve $y^{8}$ fuera del logaritmo.

$y^{8} \ln (e) = \ln (2 x)$

Paso 2.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y^{8} \cdot 1 = \ln (2 x)$

Paso 2.5.3

Multiplica $y^{8}$ por $1$ .

$y^{8} = \ln (2 x)$

Paso 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Paso 2.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Paso 2.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Paso 2.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

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Paso 4.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ y compáralos.

Paso 4.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

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Paso 4.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ .

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Paso 4.3.1

Establece el argumento en $\ln (2 x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x > 0$

Paso 4.3.2

Divide cada término en $2 x > 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Divide cada término en $2 x > 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x > 0$

Paso 4.3.3

Establece el radicando en $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\ln (2 x) \geq 0$

Paso 4.3.4

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\ln (2 x) = 0$

Paso 4.3.4.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.4.2.1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (2 x)} = e^{0}$

Paso 4.3.4.2.2

Reescribe $\ln (2 x) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 2 x$

Paso 4.3.4.2.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.2.3.1

Reescribe la ecuación como $2 x = e^{0}$ .

$2 x = e^{0}$

Paso 4.3.4.2.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 x = 1$

Paso 4.3.4.2.3.3

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.4.2.3.3.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.4.3

Obtén el dominio de $\ln (2 x)$ .

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Paso 4.3.4.3.1

Establece el argumento en $\ln (2 x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x > 0$

Paso 4.3.4.3.2

Divide cada término en $2 x > 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.4.3.2.1

Divide cada término en $2 x > 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Paso 4.3.4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.3.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x > 0$

Paso 4.3.4.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 4.3.4.4

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq \frac{1}{2}$

Paso 4.3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 4.4

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

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Paso 4.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ es el rango de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ es el dominio de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Paso 5