Álgebra Ejemplos

$\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}} = 3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ como ${(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} \ln (162 x^{c} y^{5}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Paso 2.3

Reescribe $\ln (162 x^{c} y^{5})$ como $\ln (162 x^{c}) + \ln (y^{5})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162 x^{c}) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Paso 2.4

Reescribe $\ln (162 x^{c})$ como $\ln (162) + \ln (x^{c})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + \ln (x^{c}) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Paso 2.5

Expande $\ln (x^{c})$ ; para ello, mueve $c$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Paso 2.6

Expande $\ln (y^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$ como $\ln (3 x^{2} y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2} y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (3 x^{2} y)$ como $\ln (3 x^{2}) + \ln (y)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2}) + \ln (y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (3 x^{2})$ como $\ln (3) + \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + \ln (x^{2}) + \ln (y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Paso 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ como ${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + \ln (x^{2}) + \ln (y) + \ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.5

Expande $\ln (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.6

Expande $\ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} \ln (6 y^{d})$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (6 y^{d})$ como $\ln (6) + \ln (y^{d})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + \ln (y^{d}))$

Paso 3.8

Expande $\ln (y^{d})$ ; para ello, mueve $d$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y))$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} \ln (162) + \frac{1}{3} (c \ln (x)) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (162)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{1}{3} (c \ln (x)) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $\frac{1}{3} (c \ln (x))$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Combina $c$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c}{3} \ln (x) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Paso 4.1.2.2.2

Combina $\frac{c}{3}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $\frac{1}{3} (5 \ln (y))$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5}{3} \ln (y) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Paso 4.1.2.3.2

Combina $\frac{5}{3}$ y $\ln (y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Simplifica $\ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$ .

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Paso 5.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Paso 5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{1}{3} \ln (6) + \frac{1}{3} (d \ln (y))$

Paso 5.1.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (6)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{1}{3} (d \ln (y))$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $\frac{1}{3} (d \ln (y))$ .

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Paso 5.1.2.3.1

Combina $d$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d}{3} \ln (y)$

Paso 5.1.2.3.2

Combina $\frac{d}{3}$ y $\ln (y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d \ln (y)}{3}$

Paso 6

Reordena $\frac{\ln (162)}{3}$ y $\frac{c \ln (x)}{3}$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d \ln (y)}{3}$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Mueve $\frac{\ln (6)}{3}$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{d \ln (y)}{3} + \frac{\ln (6)}{3}$

Paso 7.2

Mueve $\ln (3 y)$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \frac{d \ln (y)}{3} + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$

Paso 7.3

Reordena $2 \ln (x)$ y $\frac{d \ln (y)}{3}$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$

Paso 8

Multiplica cada término en $\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$ por $3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.1

Multiplica cada término en $\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$ por $3$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{c \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$c \ln (x) + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$c \ln (x) + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$c \ln (x) + \ln (162) + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$c \ln (x) + \ln (162) + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (3 y)$ .

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \cdot \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y) + \ln (6)$

Paso 9

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) - \ln (6) = 0$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$c \ln (x) + \ln (\frac{162}{6}) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = 0$

Paso 11

Divide $162$ por $6$ .

$c \ln (x) + \ln (27) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = 0$

Paso 12

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1

Resta $\ln (27)$ de ambos lados de la ecuación.

$c \ln (x) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27)$

Paso 12.2

Resta $5 \ln (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$c \ln (x) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y)$

Paso 12.3

Suma $d \ln (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$c \ln (x) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y)$

Paso 12.4

Suma $6 \ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$c \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x)$

Paso 12.5

Suma $3 \ln (3 y)$ a ambos lados de la ecuación.

$c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$

Paso 13

Divide cada término en $c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$ por $\ln (x)$ y simplifica.

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Paso 13.1

Divide cada término en $c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$ por $\ln (x)$ .

$\frac{c \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Paso 13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{c \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Paso 13.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Paso 13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Paso 13.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Paso 13.3.1.3

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 13.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Paso 13.3.1.3.2

Divide $6$ por $1$ .

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + 6 + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$