Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

Paso 1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Paso 1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 x + 7}{x - 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x + 7}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(x - 5)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2 x + 7}{x - 5}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{(x - 5) (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{1 + 1}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 x + 7) (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(2 x + 7) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (x - 5) + 7 (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 7 (x - 5) - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 7 x + 7 \cdot - 5 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $7$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 7 x - 35 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Suma $- 10 x$ y $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 35 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 5.3

Resta $5$ de $- 35$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 40}{{(x - 5)}^{2}}$