Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x} < \frac{1}{x - 3}$

Paso 1

Resta $\frac{1}{x - 3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 3} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para escribir $\frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} < 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{1}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} < 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} < 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{x - 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 3)} - \frac{x}{(x - 3) x} < 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 3) x$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 3)} - \frac{x}{x (x - 3)} < 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - x}{x (x - 3)} < 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3}{x (x - 3)} < 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{- 3}{x (x - 3)} < 0$

Paso 2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x (x - 3)} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 3$

Paso 6

Consolida las soluciones.

$x = 0, 3$

Paso 7

Obtén el dominio de $- \frac{3}{x (x - 3)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{3}{x (x - 3)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (x - 3) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 7.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 7.2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3$

Paso 7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{- 2} < \frac{1}{(- 2) - 3}$

Paso 9.1.3

$- 0.5$ del lado izquierdo es menor que $- 0.2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2} < \frac{1}{(2) - 3}$

Paso 9.2.3

$0.5$ del lado izquierdo no es menor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{6} < \frac{1}{(6) - 3}$

Paso 9.3.3

$0.1\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $x > 3$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < 0 or x > 3$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (3, \infty)$

Paso 12