Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 49}{x^{4} + 7 x^{3}} \div \frac{x^{2} - x - 42}{3 x}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 49}{x^{4} + 7 x^{3}} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - x - 42}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 7^{2}}{x^{4} + 7 x^{3}} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - x - 42}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{4} + 7 x^{3}} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - x - 42}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} + 7 x^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{3} x + 7 x^{3}} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - x - 42}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $7 x^{3}$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{3} x + x^{3} \cdot 7} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - x - 42}$

Paso 3.1.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot 7$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{3} (x + 7)} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - x - 42}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} (x + 7)$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x (x^{2} (x + 7))} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - x - 42}$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x (x^{2} (x + 7))} \cdot \frac{x \cdot 3}{x^{2} - x - 42}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x (x^{2} (x + 7))} \cdot \frac{x \cdot 3}{x^{2} - x - 42}$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{3}{x^{2} - x - 42}$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} (x + 7)}$ por $\frac{3}{x^{2} - x - 42}$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7) \cdot 3}{x^{2} (x + 7) (x^{2} - x - 42)}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 7) (x - 7) \cdot 3}{x^{2} (x + 7) (x^{2} - x - 42)}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 7) \cdot 3}{x^{2} (x^{2} - x - 42)}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - x - 42$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 7, 6$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 7) \cdot 3}{x^{2} ((x - 7) (x + 6))}$

$\frac{(x - 7) \cdot 3}{x^{2} (x - 7) (x + 6)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 7) \cdot 3}{x^{2} (x - 7) (x + 6)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x^{2} (x + 6)}$