Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x}{7 - x} < x$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{3 x}{7 - x} - x < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3 x}{7 - x} - x$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$\frac{3 x}{7 - x} - x \cdot \frac{7 - x}{7 - x} < 0$

Paso 2.2

Combina $- x$ y $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$\frac{3 x}{7 - x} + \frac{- x (7 - x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x - x (7 - x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Factoriza $x$ de $3 x - x (7 - x)$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{x \cdot 3 - x (7 - x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $x$ de $- x (7 - x)$ .

$\frac{x \cdot 3 + x (- (7 - x))}{7 - x} < 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 3 + x (- (7 - x))$ .

$\frac{x (3 - (7 - x))}{7 - x} < 0$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 - 1 \cdot 7 - - x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{x (3 - 7 - - x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.4.4

Multiplica $- - x$ .

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Paso 2.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x (3 - 7 + 1 x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x (3 - 7 + x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.4.5

Resta $7$ de $3$ .

$\frac{x (- 4 + x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.5

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{x (- 1 (4) + x)}{7 - x} < 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{x (- 1 (4) - 1 (- x))}{7 - x} < 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - 1 (- x)$ .

$\frac{x (- 1 (4 - x))}{7 - x} < 0$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (4 - x)}{7 - x} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$- x = 0$

$4 - x = 0$

$7 - x = 0$

Paso 4

Divide cada término en $- x = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- x = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$x = 0$

Paso 5

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 6

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 7

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 7$

Paso 8

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 8.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Divide $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Paso 9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 7$

Paso 10

Consolida las soluciones.

$x = 0, 4, 7$

Paso 11

Obtén el dominio de $- \frac{x (4 - x)}{7 - x}$ .

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Paso 11.1

Establece el denominador en $\frac{x (4 - x)}{7 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$7 - x = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x$

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Paso 11.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 7$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 11.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 11.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.2.3.1

Divide $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Paso 11.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 7$

$x > 7$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 2)}{7 - (- 2)} < - 2$

Paso 13.1.3

$- 0.\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (2)}{7 - (2)} < 2$

Paso 13.2.3

$1.2$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $4 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $4 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (6)}{7 - (6)} < 6$

Paso 13.3.3

$18$ del lado izquierdo no es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 13.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (10)}{7 - (10)} < 10$

Paso 13.4.3

$- 10$ del lado izquierdo es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$4 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$4 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 4$ o $x > 7$

Paso 15

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(0, 4) \cup (7, \infty)$

Paso 16