Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 5}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1

Factoriza $5 x^{2} - 5$ .

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Paso 1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2} - 5$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2}) - 5}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1.1.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (- 1)}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1.1.3

Factoriza $5$ de $5 (x^{2}) + 5 (- 1)$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 1)}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{5 (x^{2} - 1^{2})}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1.3

Factoriza.

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Paso 1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f (x) = \frac{5 ((x + 1) (x - 1))}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 2

Factoriza $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2}) - 6 x + 9}$

Paso 2.1.2

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9}$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (3)}$

Paso 2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (3)}$

Paso 2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (3)$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} - 2 x + 3)}$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} - 2 x + 3)}$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} + (1 - 3) x + 3)}$

Paso 2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} + 1 x - 3 x + 3)}$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} + x - 3 x + 3)}$

Paso 2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 ((- x^{2} + x) - 3 x + 3)}$

Paso 2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (x (- x + 1) + 3 (- x + 1))}$

Paso 2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 ((- x + 1) (x + 3))}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x - 1$ y $- x + 1$ .

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Paso 3.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (- 1 (- x) - 1)}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Paso 3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (- 1 (- x) - 1 \cdot 1)}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Paso 3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (- 1 (- x + 1))}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Paso 3.4

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{5 (x + 1) (- 1 (- x + 1))}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Paso 3.5

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{5 (x + 1) \cdot (- 1)}{3 (x + 3)}$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (x) = \frac{- 5 (x + 1)}{3 (x + 3)}$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x) = - \frac{5 (x + 1)}{3 (x + 3)}$

Paso 6

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$- x + 1$

Paso 7

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $- \frac{5 (x + 1)}{3 (x + 3)}$ .

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Paso 7.1

Establece $- x + 1$ igual a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $- x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 7.3

Sustituye $1$ por $x$ en $- \frac{5 (x + 1)}{3 (x + 3)}$ y simplifica.

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Paso 7.3.1

Sustituye $1$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$- \frac{5 (1 + 1)}{3 (1 + 3)}$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{3 (1 + 3)}$

Paso 7.3.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 4}$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$- \frac{10}{3 \cdot 4}$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$- \frac{10}{12}$

Paso 7.3.2.5

Cancela el factor común de $10$ y $12$ .

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Paso 7.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$- \frac{2 (5)}{12}$

Paso 7.3.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$- \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}$

Paso 7.3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}$

Paso 7.3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{5}{6}$

Paso 7.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(1, - \frac{5}{6})$

Paso 8