Álgebra Ejemplos

${(\frac{4}{6})}^{x} \geq \frac{36}{16}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{4}{6})}^{x}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{4}{6})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{4}{6}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Paso 2.2

Reduce la expresión $\frac{4}{6}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x \ln (\frac{2 (2)}{6}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Paso 2.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$x \ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común.

$x \ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Paso 2.2.4

Reescribe la expresión.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Paso 2.3

Reescribe $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{36}{16})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $36$ y $16$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 (9)}{16})$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4})$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4})$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$

Paso 5

Divide cada término en $x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$ por $\ln (\frac{2}{3})$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $x \ln (\frac{2}{3}) \geq \ln (\frac{9}{4})$ por $\ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{9}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}]$

Paso 8