Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 18 x + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Paso 1

Factoriza $2 x^{2} + 18 x + 40$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 18 x + 40$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{2 (x^{2}) + 18 x + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $18 x$ .

$f (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (9 x) + 40}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Paso 1.1.3

Factoriza $2$ de $40$ .

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (9 x) + 2 \cdot 20}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Paso 1.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (9 x)$ .

$f (x) = \frac{2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 20}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Paso 1.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 20$ .

$f (x) = \frac{2 (x^{2} + 9 x + 20)}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2} + 9 x + 20$ con el método AC.

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Paso 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $9$ .

$4, 5$

Paso 1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = \frac{2 ((x + 4) (x + 5))}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + 10 x - 25}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + 10 (x) - 25}$

Paso 2.1.2

Reescribe $10$ como $- 5$ más $15$

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} + (- 5 + 15) x - 25}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{3 x^{2} - 5 x + 15 x - 25}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x^{2} - 5 x) + 15 x - 25}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{x (3 x - 5) + 5 (3 x - 5)}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 5$ .

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x - 5) (x + 5)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{2 (x + 4) (x + 5)}{(3 x - 5) (x + 5)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x + 5$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 5.3

Sustituye $- 5$ por $x$ en $\frac{2 (x + 4)}{3 x - 5}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye $- 5$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{2 (- 5 + 4)}{3 \cdot - 5 - 5}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Suma $- 5$ y $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3 \cdot - 5 - 5}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.2.2.1

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{- 15 - 5}$

Paso 5.3.2.2.2

Resta $5$ de $- 15$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{- 20}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{- 20}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $- 20$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$\frac{- 2 (1)}{- 20}$

Paso 5.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.4.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 20$ .

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 10}$

Paso 5.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 10}$

Paso 5.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{10}$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(- 5, \frac{1}{10})$

Paso 6