Álgebra Ejemplos

$f (x) = - 3 \sqrt{x + 2} - 6$ , $x \geq - 2$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$(- \infty, - 6]$

Paso 1.2

Convierte $(- \infty, - 6]$ en una desigualdad.

$y \leq - 6$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = - 3 \sqrt{y + 2} - 6$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $- 3 \sqrt{y + 2} - 6 = x$ .

$- 3 \sqrt{y + 2} - 6 = x$

Paso 2.2.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 \sqrt{y + 2} = x + 6$

Paso 2.2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 3 \sqrt{y + 2})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 2}$ como ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 {(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.2.1

Simplifica ${(- 3 {(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 3 {(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$9 {({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.4.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 {(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 {(y + 2)}^{1} = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.4

Simplifica.

$9 (y + 2) = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 9 \cdot 2 = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.6

Multiplica $9$ por $2$ .

$9 y + 18 = {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.3.1

Simplifica ${(x + 6)}^{2}$ .

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Paso 2.2.4.3.1.1

Reescribe ${(x + 6)}^{2}$ como $(x + 6) (x + 6)$ .

$9 y + 18 = (x + 6) (x + 6)$

Paso 2.2.4.3.1.2

Expande $(x + 6) (x + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 18 = x (x + 6) + 6 (x + 6)$

Paso 2.2.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 18 = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)$

Paso 2.2.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 18 = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Paso 2.2.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$9 y + 18 = x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Paso 2.2.4.3.1.3.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$9 y + 18 = x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6$

Paso 2.2.4.3.1.3.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

$9 y + 18 = x^{2} + 6 x + 6 x + 36$

Paso 2.2.4.3.1.3.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$9 y + 18 = x^{2} + 12 x + 36$

Paso 2.2.5

Resuelve $y$

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Paso 2.2.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.5.1.1

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y = x^{2} + 12 x + 36 - 18$

Paso 2.2.5.1.2

Resta $18$ de $36$ .

$9 y = x^{2} + 12 x + 18$

Paso 2.2.5.2

Divide cada término en $9 y = x^{2} + 12 x + 18$ por $9$ y simplifica.

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Paso 2.2.5.2.1

Divide cada término en $9 y = x^{2} + 12 x + 18$ por $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{2}}{9} + \frac{12 x}{9} + \frac{18}{9}$

Paso 2.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{2}}{9} + \frac{12 x}{9} + \frac{18}{9}$

Paso 2.2.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{12 x}{9} + \frac{18}{9}$

Paso 2.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

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Paso 2.2.5.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $12 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{3 (4 x)}{9} + \frac{18}{9}$

Paso 2.2.5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{3 (4 x)}{3 (3)} + \frac{18}{9}$

Paso 2.2.5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{3 (4 x)}{3 \cdot 3} + \frac{18}{9}$

Paso 2.2.5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{4 x}{3} + \frac{18}{9}$

Paso 2.2.5.2.3.1.2

Divide $18$ por $9$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{4 x}{3} + 2$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{9} + \frac{4 x}{3} + 2$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{9} + \frac{4 x}{3} + 2, x \leq - 6$

Paso 4