Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 7

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 8

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 9

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = 1$

Paso 10

Divide cada término en $- x^{2} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $- x^{2} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 10.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Paso 11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 12

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 13

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 13.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 13.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 13.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 14

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 1$

$x = 7$

$x = - 3$

$x = i, - i$

Paso 15

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 1, 7, - 3$

Paso 16

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ .

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Paso 16.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$

Paso 16.2

Resuelve $x$

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Paso 16.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Paso 16.2.2

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 16.2.2.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 16.2.2.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 16.2.3

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 16.2.3.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 16.2.3.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 16.2.3.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 16.2.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 16.2.4

Establece $- x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 16.2.4.1

Establece $- x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$- x^{2} - 1 = 0$

Paso 16.2.4.2

Resuelve $- x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 16.2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = 1$

Paso 16.2.4.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 16.2.4.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 16.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 16.2.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 16.2.4.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Paso 16.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 16.2.4.2.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Paso 16.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 16.2.4.2.4

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 16.2.4.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 16.2.4.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 16.2.4.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 16.2.4.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 16.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 3, i, - i$

Paso 16.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 17

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Paso 18

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 18.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 18.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 18.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} {((- 6) + 1)}^{3}}{((- 6) - 7) {((- 6) + 3)}^{2} (- {(- 6)}^{2} - 1)} \leq 0$

Paso 18.1.3

$- 1.\overline{039501}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 18.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 18.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 18.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 2)}^{2} {((- 2) + 1)}^{3}}{((- 2) - 7) {((- 2) + 3)}^{2} (- {(- 2)}^{2} - 1)} \leq 0$

Paso 18.2.3

$- 0.0\overline{8}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 18.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 18.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 18.3.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} {((- 0.5) + 1)}^{3}}{((- 0.5) - 7) {((- 0.5) + 3)}^{2} (- {(- 0.5)}^{2} - 1)} \leq 0$

Paso 18.3.3

$0.0005\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 18.4

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 18.4.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 18.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} {((4) + 1)}^{3}}{((4) - 7) {((4) + 3)}^{2} (- {(4)}^{2} - 1)} \leq 0$

Paso 18.4.3

$0.80032012$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 18.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 18.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 18.5.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{{(10)}^{2} {((10) + 1)}^{3}}{((10) - 7) {((10) + 3)}^{2} (- {(10)}^{2} - 1)} \leq 0$

Paso 18.5.3

$- 2.599254$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 18.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

Paso 19

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 3$ o $- 3 < x \leq - 1$ o $x > 7$ o $x = 0$

Paso 20

Combina los intervalos.

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Paso 21

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1] \cup [0, 0] \cup (7, \infty)$

Paso 22