Álgebra Ejemplos

$\sin (θ) - \cos (θ) = \sqrt{2}$

Paso 1

Usa la identidad para resolver la ecuación. En esta identidad, $θ$ representa el ángulo creado al trazar el punto $(a, b)$ en una gráfica y, por lo tanto, se puede obtener con $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ donde $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ y $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Paso 2

Establece la ecuación para obtener el valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Paso 3

Resta la inversa de la tangente para resolver la ecuación en $θ$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Paso 3.3

El valor exacto de $\tan^{-1} (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Paso 4

Resuelve para obtener el valor de $R$ .

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Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Paso 4.3

Suma $1$ y $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Paso 5

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Paso 6

Divide cada término en $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ por $\sqrt{2}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $\sin (θ - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

Paso 7

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

El valor exacto de $\sin^{-1} (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $θ$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 9.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 9.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Paso 9.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Paso 9.5.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 10

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Paso 11

Resuelve $θ$

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Paso 11.1

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 11.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 11.1.2

Combina fracciones.

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Paso 11.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 11.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 11.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 11.1.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Paso 11.2

Mueve todos los términos que no contengan $θ$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 11.2.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Paso 11.2.5.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 12

Obtén el período de $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

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Paso 12.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13

El período de la función $\sin (θ - \frac{π}{4})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$