Álgebra Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ , $x \geq - 3$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$(- \infty, 0]$

Paso 1.2

Convierte $(- \infty, 0]$ en una desigualdad.

$y \leq 0$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Paso 2.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Combina $\sqrt{y + 3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Paso 2.2.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Paso 2.2.3.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Paso 2.2.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Paso 2.2.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Paso 2.2.3.1.3

Multiplica.

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Paso 2.2.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Paso 2.2.3.1.3.2

Multiplica $\sqrt{y + 3}$ por $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Paso 2.2.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Paso 2.2.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 3}$ como ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Paso 2.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.2.1

Simplifica ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Paso 2.2.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Paso 2.2.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Paso 2.2.5.2.1.2

Simplifica.

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.5.3.1

Simplifica ${(- 2 x)}^{2}$ .

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Paso 2.2.5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 x$ .

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Paso 2.2.5.3.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Paso 2.2.6

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 4 x^{2} - 3$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3, x \leq 0$

Paso 4