Álgebra Ejemplos

$(3 x + 10) (2 x^{2} + 1) (2 - x) > 0$

Paso 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 10 = 0$

$2 x^{2} + 1 = 0$

$2 - x = 0$

Paso 2

Establece $3 x + 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1

Establece $3 x + 10$ igual a $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $3 x + 10 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 10$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $3 x = - 10$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 10$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{10}{3}$

Paso 3

Establece $2 x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2 x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = - 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 x^{2} = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Paso 3.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Paso 3.2.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 3.2.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.2.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.2.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.2.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.2.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 10) (2 x^{2} + 1) (2 - x) > 0$ verdadera.

$x = - \frac{10}{3}, \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 2$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{10}{3}$

$- \frac{10}{3} < x < 2$

$x > 2$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{10}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{10}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$(3 (- 6) + 10) (2 {(- 6)}^{2} + 1) (2 - (- 6)) > 0$

Paso 7.1.3

$- 4672$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{10}{3} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{10}{3} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(3 (0) + 10) (2 {(0)}^{2} + 1) (2 - (0)) > 0$

Paso 7.2.3

$20$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(3 (4) + 10) (2 {(4)}^{2} + 1) (2 - (4)) > 0$

Paso 7.3.3

$- 1452$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{10}{3}$ Falso

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - \frac{10}{3}$ Falso

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{10}{3} < x < 2$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{10}{3} < x < 2$

Notación de intervalo:

$(- \frac{10}{3}, 2)$

Paso 10