Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{3 x^{2} - 48} \cdot \frac{x^{3} - 49 x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 x^{2} - 48} \cdot \frac{x^{3} - 49 x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 48$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x^{2}) - 48} \cdot \frac{x^{3} - 49 x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 2.1.2

Factoriza $3$ de $- 48$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 16} \cdot \frac{x^{3} - 49 x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 \cdot - 16$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x^{2} - 16)} \cdot \frac{x^{3} - 49 x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 2.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x^{2} - 4^{2})} \cdot \frac{x^{3} - 49 x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x^{3} - 49 x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 49 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} - 49 x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 49 x$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 49}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 49$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x (x^{2} - 49)}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 3.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x (x^{2} - 7^{2})}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x (x + 7) (x - 7)}{x^{2} + 6 x - 7}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 6 x - 7$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $6$ .

$- 1, 7$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x (x + 7) (x - 7)}{(x - 1) (x + 7)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x (x + 7) (x - 7)}{(x - 1) (x + 7)}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{3 (x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x (x + 7) (x - 7)}{x + 7}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{x + 4}{3 (x + 4) (x - 4)}$ por $\frac{x (x + 7) (x - 7)}{x + 7}$ .

$\frac{(x + 4) (x (x + 7) (x - 7))}{3 (x + 4) (x - 4) (x + 7)}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x (x + 7) (x - 7))}{3 (x + 4) (x - 4) (x + 7)}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x + 7) (x - 7)}{(3 (x - 4)) (x + 7)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 7) (x - 7)}{3 (x - 4) (x + 7)}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x - 7)}{3 (x - 4)}$