Álgebra Ejemplos

${(\frac{9}{8})}^{3 x + 12} = 1$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{9}{8})}^{3 x + 12}) = \ln (1)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{9}{8})}^{3 x + 12})$ ; para ello, mueve $3 x + 12$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 12) \ln (\frac{9}{8}) = \ln (1)$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{9}{8})$ como $\ln (9) - \ln (8)$ .

$(3 x + 12) (\ln (9) - \ln (8)) = \ln (1)$

Paso 2.3

Reescribe $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$(3 x + 12) (\ln (9) - \ln (2^{3})) = \ln (1)$

Paso 2.4

Expande $\ln (2^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 12) (\ln (9) - (3 \ln (2))) = \ln (1)$

Paso 2.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2))$ .

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Paso 3.1.1

Expande $(3 x + 12) (\ln (9) - 3 \ln (2))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) + 12 (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) + 12 (\ln (9) - 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) + 12 \ln (9) + 12 (- 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) + 12 (- 3 \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 3$ por $12$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) - 36 \ln (2) = \ln (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) + 12 \ln (9) - 36 \ln (2) = 0$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $12 \ln (9)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) - 36 \ln (2) = - 12 \ln (9)$

Paso 5.2

Suma $36 \ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (9) - 9 x \ln (2) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Paso 6

Factoriza $3 x$ de $3 x \ln (9) - 9 x \ln (2)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $3 x$ de $- 9 x \ln (2)$ .

$3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Paso 6.2

Factoriza $3 x$ de $3 x \ln (9) + 3 x (- 3 \ln (2))$ .

$3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$

Paso 7

Divide cada término en $3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$ por $3 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 x (\ln (9) - 3 \ln (2)) = - 12 \ln (9) + 36 \ln (2)$ por $3 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ .

$\frac{3 x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $\ln (9) - 3 \ln (2)$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (9) - 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)} = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12 \ln (9)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 12 \ln (9)$ .

$x = \frac{3 (- 4 \ln (9))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 (- 4 \ln (9))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{36 \ln (2)}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $36$ y $3$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $36 \ln (2)$ .

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{3 (12 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{3 (12 \ln (2))}{3 (\ln (9) - 3 \ln (2))}$

Paso 7.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{4 \ln (9)}{\ln (9) - 3 \ln (2)} + \frac{12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 7.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 4 \ln (9) + 12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.2

Factoriza $4$ de $- 4 \ln (9) + 12 \ln (2)$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 \ln (9)$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9)) + 12 \ln (2)}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.2.2

Factoriza $4$ de $12 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9)) + 4 (3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.2.3

Factoriza $4$ de $4 (- \ln (9)) + 4 (3 \ln (2))$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9) + 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.3

Cancela el factor común de $- \ln (9) + 3 \ln (2)$ y $\ln (9) - 3 \ln (2)$ .

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Paso 7.3.2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- \ln (9)$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9) + 3 \ln (2))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.3.2

Factoriza $- 1$ de $3 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 (- \ln (9) - (- 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (9) - (- 3 \ln (2))$ .

$x = \frac{4 (- (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.3.4

Reescribe $- (\ln (9) - 3 \ln (2))$ como $- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2))$ .

$x = \frac{4 (- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.3.5

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 (- 1 (\ln (9) - 3 \ln (2)))}{\ln (9) - 3 \ln (2)}$

Paso 7.3.2.3.6

Divide $4 \cdot (- 1)$ por $1$ .

$x = 4 \cdot (- 1)$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = - 4$