Álgebra Ejemplos

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - h)}^{2}$ como $(x - h) (x - h)$ .

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Paso 1.2

Expande $(x - h) (x - h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Paso 1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Paso 1.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h \cdot h) + k$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $h$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.4.1

Mueve $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) + k$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h^{2}) + k$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $h^{2}$ por $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Paso 1.3.2

Resta $h x$ de $- x h$ .

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Paso 1.3.2.1

Mueve $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Paso 1.3.2.2

Resta $h x$ de $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Paso 1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Paso 2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k = f (x)$

Paso 3

Resta $f (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k - f (x) = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = a$ , $b = - 2 a h$ y $c = a h^{2} + k - f (x)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a h)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Agrega paréntesis.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 (a h))}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Paso 6.1.2

Sea $u = a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

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Paso 6.1.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 a h$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a)}^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Paso 6.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $- 2 a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} a^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Paso 6.1.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 4 u}}{2 a}$

Paso 6.1.3

Factoriza $4$ de $4 a^{2} h^{2} - 4 u$ .

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Paso 6.1.3.1

Factoriza $4$ de $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 4 u}}{2 a}$

Paso 6.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)}}{2 a}$

Paso 6.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - u)}}{2 a}$

Paso 6.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot (a h^{2} + k - f (x))))}}{2 a}$

Paso 6.1.5

Simplifica.

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Paso 6.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a (a h^{2}) + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Paso 6.1.5.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.5.1.2.1

Mueve $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot a h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Paso 6.1.5.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Paso 6.1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2}) - (a k) - (a (- f (x))))}}{2 a}$

Paso 6.1.5.1.4

Multiplica $- (a (- f (x)))$ .

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Paso 6.1.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + 1 (a (f (x))))}}{2 a}$

Paso 6.1.5.1.4.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + a f (x))}}{2 a}$

Paso 6.1.5.2

Resta $a^{2} h^{2}$ de $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (0 - a k + a f (x))}}{2 a}$

Paso 6.1.5.3

Resta $a k$ de $0$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (- a k + a f (x))}}{2 a}$

Paso 6.1.6

Factoriza $a$ de $- a k + a f (x)$ .

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Paso 6.1.6.1

Factoriza $a$ de $- a k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a f (x))}}{2 a}$

Paso 6.1.6.2

Factoriza $a$ de $a f (x)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a (f (x)))}}{2 a}$

Paso 6.1.6.3

Factoriza $a$ de $a (- 1 k) + a (f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k + f (x)))}}{2 a}$

Paso 6.1.7

Reescribe $- 1 k$ como $- k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a (- k + f (x))}}{2 a}$

Paso 6.1.8

Reescribe $4 a (- k + f (x))$ como $2^{2} (a (- k + f (x)))$ .

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Paso 6.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} a (- k + f (x))}}{2 a}$

Paso 6.1.8.2

Agrega paréntesis.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} (a (- k + f (x)))}}{2 a}$

Paso 6.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$

Paso 6.2

Simplifica $\frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$ .

$x = \frac{a h \pm \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{a h + \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}, \frac{a h - \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$