Álgebra Ejemplos

$g (x) = \frac{1}{3} {(x - 6)}^{2} + 1$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 6)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x - 6)}^{2}}{3} + 1$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{3} \cdot {(x - 6)}^{2} + 1$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 6$

$k = 1$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(6, 1)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 1.5.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Paso 1.5.3.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, \frac{7}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 6$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{1}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(6, 1)$

Foco: $(6, \frac{7}{4})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(6, 1)$

Foco: $(6, \frac{7}{4})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{3} - 4 \cdot 5 + 13$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \frac{25}{3} - 4 \cdot 5 + 13$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$f (5) = \frac{25}{3} - 20 + 13$

Paso 2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.2.1

Escribe $- 20$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20}{1} + 13$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + 13$

Paso 2.2.2.4

Escribe $13$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (5) = \frac{25 - 20 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $- 20$ por $3$ .

$f (5) = \frac{25 - 60 + 13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $13$ por $3$ .

$f (5) = \frac{25 - 60 + 39}{3}$

Paso 2.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.5.1

Resta $60$ de $25$ .

$f (5) = \frac{- 35 + 39}{3}$

Paso 2.2.5.2

Suma $- 35$ y $39$ .

$f (5) = \frac{4}{3}$

Paso 2.2.6

La respuesta final es $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 5$ es $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{3} - 4 \cdot 4 + 13$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \frac{16}{3} - 4 \cdot 4 + 13$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f (4) = \frac{16}{3} - 16 + 13$

Paso 2.5.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.5.2.1

Escribe $- 16$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16}{1} + 13$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + 13$

Paso 2.5.2.4

Escribe $13$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Paso 2.5.2.5

Multiplica $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.5.2.6

Multiplica $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{16 - 16 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$f (4) = \frac{16 - 48 + 13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $13$ por $3$ .

$f (4) = \frac{16 - 48 + 39}{3}$

Paso 2.5.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.5.1

Resta $48$ de $16$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 39}{3}$

Paso 2.5.5.2

Suma $- 32$ y $39$ .

$f (4) = \frac{7}{3}$

Paso 2.5.6

La respuesta final es $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 4$ es $\frac{7}{3}$ .

$y = \frac{7}{3}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = \frac{{(9)}^{2}}{3} - 4 \cdot 9 + 13$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f (9) = \frac{81}{3} - 4 \cdot 9 + 13$

Paso 2.8.1.2

Divide $81$ por $3$ .

$f (9) = 27 - 4 \cdot 9 + 13$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$f (9) = 27 - 36 + 13$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta $36$ de $27$ .

$f (9) = - 9 + 13$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 9$ y $13$ .

$f (9) = 4$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 9$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = \frac{{(7)}^{2}}{3} - 4 \cdot 7 + 13$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (7) = \frac{49}{3} - 4 \cdot 7 + 13$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$f (7) = \frac{49}{3} - 28 + 13$

Paso 2.11.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.11.2.1

Escribe $- 28$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28}{1} + 13$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $\frac{- 28}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Paso 2.11.2.3

Multiplica $\frac{- 28}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + 13$

Paso 2.11.2.4

Escribe $13$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Paso 2.11.2.5

Multiplica $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.11.2.6

Multiplica $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (7) = \frac{49 - 28 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.4.1

Multiplica $- 28$ por $3$ .

$f (7) = \frac{49 - 84 + 13 \cdot 3}{3}$

Paso 2.11.4.2

Multiplica $13$ por $3$ .

$f (7) = \frac{49 - 84 + 39}{3}$

Paso 2.11.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.5.1

Resta $84$ de $49$ .

$f (7) = \frac{- 35 + 39}{3}$

Paso 2.11.5.2

Suma $- 35$ y $39$ .

$f (7) = \frac{4}{3}$

Paso 2.11.6

La respuesta final es $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 7$ es $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{7}{3} \\ 5 & \frac{4}{3} \\ 6 & 1 \\ 7 & \frac{4}{3} \\ 9 & 4 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(6, 1)$

Foco: $(6, \frac{7}{4})$

Eje de simetría: $x = 6$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{7}{3} \\ 5 & \frac{4}{3} \\ 6 & 1 \\ 7 & \frac{4}{3} \\ 9 & 4 \end{array}$

Paso 4