Álgebra Ejemplos

$x \sqrt{2 - x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x}$ como ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 - x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.3

Mueve ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14

Combina fracciones.

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Paso 1.14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14.2

Combina $\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.14.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.16

Multiplica ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.17

Para escribir ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18

Combina ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20

Multiplica ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.20.1

Mueve ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21

Simplifica ${(2 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (2 - x) \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22

Mueve $2$ a la izquierda de $2 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (2 - x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23

Simplifica.

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Paso 1.23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x + 2 \cdot 2 + 2 (- x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.23.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- x + 4 + 2 (- x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x + 4 - 2 x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.2.2

Resta $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.4

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x - 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.6

Reescribe $- (3 x - 4)$ como $- 1 (3 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 4}{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 4}{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 4$ y $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.4

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.5.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.5.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.5.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 - x}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 - x$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.11.3

Mueve ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x))}{2 - x}$

Paso 2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)))}{2 - x}$

Paso 2.13

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{2 - x}$

Paso 2.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{2 - x}$

Paso 2.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{2 - x}$

Paso 2.16

Multiplica.

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Paso 2.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{2 - x}$

Paso 2.16.2

Multiplica $3 x - 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{2 - x}$

Paso 2.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{2 - x}$

Paso 2.18

Combina fracciones.

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Paso 2.18.1

Multiplica $3 x - 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 - x}$

Paso 2.18.2

Multiplica $\frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) \frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(2 - x) \cdot 2}$

Paso 2.18.3

Mueve $2$ a la izquierda de $2 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (2 - x)}$

Paso 2.19

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 4) (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.2.1

Sea $u_{2} = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 4}{2 u_{2}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.1.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.2.1.2.1

Mueve $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 4}{2 u_{2}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.1.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 4}{2 u_{2}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 4}{2 u_{2}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (2 - x) + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3.1.2

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (2 - x) + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 2 + 6 (- x) + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3.1.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{12 + 6 (- x) + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{12 - 6 x + 3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3.2

Resta $4$ de $12$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.2.3.3

Suma $- 6 x$ y $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 2 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3

Combina los términos.

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Paso 2.19.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 + 2 (- x)}$

Paso 2.19.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - 2 x}$

Paso 2.19.3.3

Reescribe $\frac{\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - 2 x}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - 2 x})$

Paso 2.19.3.4

Multiplica $\frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{4 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (4 - 2 x)}$

Paso 2.19.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.19.4.1

Factoriza $2$ de $4 - 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.4.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (2) - 2 x)}$

Paso 2.19.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (2) + 2 (- x))}$

Paso 2.19.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (2 - x))}$

Paso 2.19.4.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.19.4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 - x)}$

Paso 2.19.4.2.2

Eleva $2 - x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 ((2 - x) {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.19.4.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.19.4.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.19.4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 2.19.4.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.5

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.6

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.7

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 8)}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.8

Reescribe $- (3 x - 8)$ como $- 1 (3 x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 8)}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{3 x - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.19.11

Multiplica $\frac{3 x - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 8}{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x}$ como ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 - x$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8

Combina fracciones.

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Paso 4.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.3

Mueve ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14

Combina fracciones.

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Paso 4.1.14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14.2

Combina $\frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.14.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.16

Multiplica ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.17

Para escribir ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.18

Combina ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.20

Multiplica ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.20.1

Mueve ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.20.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- x + {(2 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.21

Simplifica ${(2 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (2 - x) \cdot 2}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22

Mueve $2$ a la izquierda de $2 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (2 - x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23

Simplifica.

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Paso 4.1.23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x + 2 \cdot 2 + 2 (- x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.23.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- x + 4 + 2 (- x)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x + 4 - 2 x}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.2.2

Resta $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.4

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x - 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.6

Reescribe $- (3 x - 4)$ como $- 1 (3 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{3 x - 4}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x - 4 = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{3 x - 4}{2 \sqrt{{(2 - x)}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{3 x - 4}{2 \sqrt{2 - x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{3 x - 4}{2 \sqrt{2 - x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{2 - x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{2 - x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x}$ como ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(2 - x)}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (2 - x) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 2 + 4 (- x) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.3.2.2.1.6.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 + 4 (- x) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$8 - 4 x = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$8 - 4 x = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 8$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $- 4 x = - 8$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - 8$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 4}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 4$ .

$x = 2$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{2 - x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 - x < 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

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Paso 6.5.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < - 2$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $- x < - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Divide cada término de $- x < - 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x > 2$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \geq 2$

$[2, \infty)$

$x \geq 2$

$[2, \infty)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{4}{3}, 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{4}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 (\frac{4}{3}) - 8}{4 {(2 - (\frac{4}{3}))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (\frac{4}{3}) - 8}{4 {(2 - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 - 8}{4 {(2 - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.2

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{- 4}{4 {(2 - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4}{4 {(2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.2

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4}{4 {(\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4}{4 {(\frac{2 \cdot 3 - 4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- 4}{4 {(\frac{6 - 4}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.4.2

Resta $4$ de $6$ .

$\frac{- 4}{4 {(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4}{4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3

Combina $4$ y $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{\frac{4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 4}{\frac{2^{2 + \frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.4.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.4.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4}{\frac{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{\frac{4 + 3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.4.6.2

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{- 4}{\frac{2^{\frac{7}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{2}}}$

Paso 9.6

Combina $- 4$ y $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{2}}}$

Paso 9.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{2}}}$

Paso 10

$x = \frac{4}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{4}{3}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{4}{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3}) \sqrt{2 - (\frac{4}{3})}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}}$

Paso 11.2.2

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}}$

Paso 11.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4}{3}}$

Paso 11.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{6 - 4}{3}}$

Paso 11.2.4.2

Resta $4$ de $6$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.5

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 11.2.6

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 11.2.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.2.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 11.2.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 11.2.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 11.2.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 11.2.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 11.2.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 11.2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.2.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.2.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 11.2.7.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 11.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Paso 11.2.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 11.2.9

Multiplica $\frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Paso 11.2.9.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Paso 11.2.9.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Paso 11.2.10

La respuesta final es $\frac{4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 (2) - 8}{4 {(2 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0^{3}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 (2) - 8}{4 \cdot 0}$

Paso 13.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3 (2) - 8}{0}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{3 (2) - 8}{0}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 15