Álgebra Ejemplos

$- 2 x^{2} - 10 x + 49$

Paso 1

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 10}{2 (- 2)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 10}{2 (- 2)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{- 10}{2 (- 2)}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 2}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 2)}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 2}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 5}{- 2}$

Paso 2.3.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{5}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 \frac{25}{2^{2}} - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 (\frac{25}{4}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 (- 1) (\frac{25}{4}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{2}) = - 1 (\frac{25}{2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.7

Reescribe $- 1 (\frac{25}{2})$ como $- (\frac{25}{2})$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - (\frac{25}{2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} - 10 (\frac{- 5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.8.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 (- 5) (\frac{- 5}{2}) + 49$

Paso 3.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 \cdot (- 5 (\frac{- 5}{2})) + 49$

Paso 3.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} - 5 \cdot - 5 + 49$

Paso 3.2.1.9

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 25 + 49$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $25$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25}{1} + 49$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{25}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25}{1} \cdot \frac{2}{2} + 49$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{25}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + 49$

Paso 3.2.2.4

Escribe $49$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + \frac{49}{1}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{49}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + \frac{49}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $\frac{49}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + \frac{49 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2 + 49 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $25$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50 + 49 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $49$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50 + 98}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.5.1

Suma $- 25$ y $50$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25 + 98}{2}$

Paso 3.2.5.2

Suma $25$ y $98$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{123}{2}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\frac{123}{2}$ .

$\frac{123}{2}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(- \frac{5}{2}, \frac{123}{2})$

Paso 5