Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)$

Paso 1.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)$

Paso 1.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)$

Paso 1.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)$

Paso 1.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)$

Paso 1.3.8.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)$

Paso 1.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)$

Paso 1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1$

Paso 1.3.11

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Paso 1.3.12

Multiplica $\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.3.13

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.1.2

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}}))$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Paso 2.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))))$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (1)))))$

Paso 2.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Paso 2.2.8

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Paso 2.2.8.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Paso 2.2.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Paso 2.2.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))))$

Paso 2.2.10

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))))$

Paso 2.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))))$

Paso 2.2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.12.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))))$

Paso 2.2.12.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))))$

Paso 2.2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))))$

Paso 2.2.14

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1))$

Paso 2.2.15

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1))$

Paso 2.2.16

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 2.2.17

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.18

Combina $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.19

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.20

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.20.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})})$

Paso 2.2.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}})$

Paso 2.2.20.4

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}})$

Paso 2.2.21

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 2.2.22

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.3

Resta $\frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 4.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Paso 4.1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Paso 4.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Paso 4.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Paso 4.1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Paso 4.1.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Paso 4.1.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 4.1.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 4.1.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Paso 4.1.3.8.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Paso 4.1.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Paso 4.1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1$

Paso 4.1.3.11

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Paso 4.1.3.12

Multiplica $\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 4.1.3.13

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Resta $\frac{2}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}, 3$

Paso 5.3.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.3.3

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 5.3.4

El MCM de $3, 3$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 5.3.5

El factor para $x + 1$ es $x + 1$ en sí mismo.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 5.3.6

El MCM de ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.7

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$ por $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$ por $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$2 = \frac{- 2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.4.3.1.2

Factoriza $3$ de $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$2 = \frac{- 2}{3} (3 ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}}))$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común.

$2 = \frac{- 2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.4.3.1.4

Reescribe la expresión.

$2 = - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

Divide $2$ por $- 2$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - 1$

Paso 5.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 5.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 5.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.4.1.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 5.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{3}$

Paso 5.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x + 1 = {(- 1)}^{3}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.4.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x + 1 = - 1$

Paso 5.5.5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.5.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1 - 1$

Paso 5.5.5.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$x = - 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 1}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 1}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x + 1} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x + 1})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 (x + 1) = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$27 x + 27 \cdot 1 = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.6

Multiplica $27$ por $1$ .

$27 x + 27 = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x + 27 = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$27 x = - 27$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $27 x = - 27$ por $27$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $27 x = - 27$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 27}{27}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 27}{27}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 27}{27}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Divide $- 27$ por $27$ .

$x = - 1$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 2, - 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{9 {((- 2) + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{4}}$

Paso 9.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 1}$

Paso 9.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$- \frac{2}{9}$

Paso 10

$x = - 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 2$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{2 (- 2)}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.2.3

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 11.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 11.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2}$

Paso 11.2.2.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + 1$

Paso 11.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 11.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{- 4 + 3}{3}$

Paso 11.2.3.3

Suma $- 4$ y $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{3}$

Paso 11.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{1}{3}$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{9 {((- 1) + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Paso 13.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{2}{0}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la primera derivada $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((- 4) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.2.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.2.2.2

La respuesta final es $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $- 1.5$ , del intervalo $(- 2, - 1)$ en la primera derivada $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.5$ en la expresión.

$f' (- 1.5) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((- 1.5) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Suma $- 1.5$ y $1$ .

$f' (- 1.5) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.2.2

La respuesta final es $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- 1, \infty)$ en la primera derivada $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((0) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.4.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 14.4.2.1.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.4.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \cdot 1}$

Paso 14.4.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 14.4.2.2

Combina fracciones.

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Paso 14.4.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (0) = \frac{2 + 2}{3}$

Paso 14.4.2.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$f' (0) = \frac{4}{3}$

Paso 14.4.2.3

La respuesta final es $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 14.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = - 2$ , $x = - 2$ es un máximo local.

$x = - 2$ es un máximo local

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - 1$ , $x = - 1$ es un mínimo local.

$x = - 1$ es un mínimo local

Paso 14.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ es un máximo local

$x = - 1$ es un mínimo local

$x = - 2$ es un máximo local

$x = - 1$ es un mínimo local

Paso 15