Álgebra Ejemplos

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 3$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 1) (x - 1)) + 3$

Paso 1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 3$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 3$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Paso 1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 3$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - x + 1) + 3$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) + 3$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Paso 1.5.2.3

Cancela el factor común.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Paso 1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 x - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Paso 1.5.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Paso 1.5.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + 3$

Paso 2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 1 + 6}{2}$

Paso 5.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{5}{2}$

Paso 6

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 7

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 7.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (- 0.5)}$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{1}{2 (- 0.5)}$

Paso 7.3

Simplifica $- \frac{1}{2 (- 0.5)}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $- 0.5$ .

$x = - \frac{1}{- 1}$

Paso 7.3.2

Divide $1$ por $- 1$ .

$x = - - 1$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 8

Evalúa $f (1)$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{5}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Combina fracciones.

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Paso 8.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{5}{2}$

Paso 8.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = 1 + \frac{- {(1)}^{2} + 5}{2}$

Paso 8.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 + \frac{- 1 \cdot 1 + 5}{2}$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{- 1 + 5}{2}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.3.1

Suma $- 1$ y $5$ .

$f (1) = 1 + \frac{4}{2}$

Paso 8.2.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$f (1) = 1 + 2$

Paso 8.2.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f (1) = 3$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 9

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(1, 3)$

Paso 10