Álgebra Ejemplos

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $23$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $23 x$ con respecto a $x$ es $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $23$ por $1$ .

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.4

Como $- 216$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 216$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $2600$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2600}{x}$ con respecto a $x$ es $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.5.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Paso 1.5.4

Multiplica $- 1$ por $2600$ .

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.6.2

Combina los términos.

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Paso 1.6.2.1

Suma $x + 23$ y $0$ .

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.6.2.2

Combina $- 2600$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Paso 1.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Paso 1.6.3

Reordena los términos.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2600$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2600}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.2.10

Multiplica $- 2$ por $- 2600$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

Paso 2.3

Como $23$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $23$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $5200$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $23$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $23 x$ con respecto a $x$ es $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $23$ por $1$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.4

Como $- 216$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 216$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Paso 4.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

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Paso 4.1.5.1

Como $2600$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2600}{x}$ con respecto a $x$ es $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 4.1.5.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 4.1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Paso 4.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $2600$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.1.6.2

Combina los términos.

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Paso 4.1.6.2.1

Suma $x + 23$ y $0$ .

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.1.6.2.2

Combina $- 2600$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Paso 4.1.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Paso 4.1.6.3

Reordena los términos.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Paso 5.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 9.01216529$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{2600}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 9.01216529$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 9.01216529$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Eleva $9.01216529$ a la potencia de $3$ .

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

Paso 9.1.2

Divide $5200$ por $731.96016423$ .

$7.10421175 + 1$

Paso 9.2

Suma $7.10421175$ y $1$ .

$8.10421175$

Paso 10

$x = 9.01216529$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 9.01216529$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 9.01216529$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $9.01216529$ en la expresión.

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $9.01216529$ a la potencia de $2$ .

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $0.5$ por $81.21912329$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $23$ por $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Paso 11.2.1.4

Divide $2600$ por $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 11.2.2.1

Suma $40.60956164$ y $207.27980177$ .

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

Paso 11.2.2.2

Resta $216$ de $247.88936342$ .

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

Paso 11.2.2.3

Suma $31.88936342$ y $288.49892506$ .

$f (9.01216529) = 320.38828848$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $320.38828848$ .

$y = 320.38828848$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ .

$(9.01216529, 320.38828848)$ es un mínimo local

Paso 13