Álgebra Ejemplos

$S (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Paso 1

Para obtener el número posible de raíces positivas, mira los signos en los coeficientes y cuenta la cantidad de veces que los signos en los coeficientes cambian de positivo a negativo o de negativo a positivo.

$f (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Paso 2

Como hay $1$ cambio de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $1$ raíz positiva (regla de los signos de Descartes).

Raíces positivas: $1$

Paso 3

Para obtener el número posible de raíces negativas, reemplaza $w$ por $- w$ y repite la comparación del signo.

$f (- w) = {(- w)}^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $- w$ .

$f (- w) = {(- 1)}^{4} w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- w) = 1 w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.3

Multiplica $w^{4}$ por $1$ .

$f (- w) = w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $- w$ .

$f (- w) = w^{4} - ({(- 1)}^{3} w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.5

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1

Mueve ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.5.2

Multiplica ${(- 1)}^{3}$ por $- 1$ .

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Paso 4.5.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.5.3

Suma $3$ y $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{4} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- w) = w^{4} + 1 w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.7

Multiplica $w^{3}$ por $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.8

Aplica la regla del producto a $- w$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 ({(- 1)}^{2} w^{2}) - (- w) - 12$

Paso 4.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 (1 w^{2}) - (- w) - 12$

Paso 4.10

Multiplica $w^{2}$ por $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} - (- w) - 12$

Paso 4.11

Multiplica $- (- w)$ .

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Paso 4.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + 1 w - 12$

Paso 4.11.2

Multiplica $w$ por $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + w - 12$

Paso 5

Como hay $3$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $3$ raíces negativas (regla de los signos de Descartes). Los otros números posibles de las raíces negativas se obtienen mediante la resta de los pares de raíces (por ej., $3 - 2$ ).

Raíces negativas: $3$ o $1$

Paso 6

El número posible de raíces positivas es $1$ y el número posible de raíces negativas es $3$ o $1$ .

Raíces positivas: $1$

Raíces negativas: $3$ o $1$