Álgebra Ejemplos

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 5}$

Paso 1

Resuelve $\sqrt{x - 5}$

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$ .

$\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$

Paso 1.2

Simplifica $f^{- 1} x$ .

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Paso 1.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x - 5} = \frac{1}{f} x$

Paso 1.2.2

Combina $\frac{1}{f}$ y $x$ .

$\sqrt{x - 5} = \frac{x}{f}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x - 5}}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 5)}^{1} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$x - 5 = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{f}$ .

$x - 5 = \frac{x^{2}}{f^{2}}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados por $f^{2}$ .

$(x - 5) f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica $(x - 5) f^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x f^{2} - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Reordena $x$ y $f^{2}$ .

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $f^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{2} x - 5 f^{2} = x^{2}$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$f^{2} x - 5 f^{2} - x^{2} = 0$

Paso 4.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = f^{2}$ y $c = - 5 f^{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- f^{2} \pm \sqrt{{(f^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 5 f^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${(f^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Paso 4.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.1.3

Factoriza $f^{2}$ de $f^{4} - 20 f^{2}$ .

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Paso 4.3.4.1.3.1

Factoriza $f^{2}$ de $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.1.3.2

Factoriza $f^{2}$ de $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.1.3.3

Factoriza $f^{2}$ de $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Paso 4.3.4.3

Simplifica $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1.1

Multiplica los exponentes en ${(f^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.3.5.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Paso 4.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.1.3

Factoriza $f^{2}$ de $f^{4} - 20 f^{2}$ .

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Paso 4.3.5.1.3.1

Factoriza $f^{2}$ de $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.1.3.2

Factoriza $f^{2}$ de $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.1.3.3

Factoriza $f^{2}$ de $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Paso 4.3.5.3

Simplifica $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Paso 4.3.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Paso 4.3.5.5

Factoriza $f$ de $f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

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Paso 4.3.5.5.1

Factoriza $f$ de $f^{2}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Paso 4.3.5.5.2

Factoriza $f$ de $f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Paso 4.3.5.5.3

Factoriza $f$ de $f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})$ .

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Paso 4.3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 4.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.6.1.1

Multiplica los exponentes en ${(f^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.3.6.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.6.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Paso 4.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.6.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.6.1.3

Factoriza $f^{2}$ de $f^{4} - 20 f^{2}$ .

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Paso 4.3.6.1.3.1

Factoriza $f^{2}$ de $f^{4}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.6.1.3.2

Factoriza $f^{2}$ de $- 20 f^{2}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.6.1.3.3

Factoriza $f^{2}$ de $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.6.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Paso 4.3.6.3

Simplifica $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Paso 4.3.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Paso 4.3.6.5

Factoriza $f$ de $f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

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Paso 4.3.6.5.1

Factoriza $f$ de $f^{2}$ .

$x = \frac{f \cdot f - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Paso 4.3.6.5.2

Factoriza $f$ de $- f \sqrt{f^{2} - 20}$ .

$x = \frac{f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Paso 4.3.6.5.3

Factoriza $f$ de $f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})$ .

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Paso 4.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Paso 5

Para reescribir como una función de $f$ , escribe la ecuación para que $x$ quede por sí sola a un lado del signo igual y una expresión que solo involucra $f$ quede al otro lado.

$f (f) = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}, \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$