Álgebra Ejemplos

$\sqrt{3 x} \leq \sqrt{2 x + 3}$

Paso 1

Resuelve $0 \leq x \leq 3$ .

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Paso 1.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{3 x}}^{2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Paso 1.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 x)}^{1} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.2

Simplifica.

$3 x \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ como $2 x + 3$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 3}$ como ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x \leq {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{1}$

Paso 1.2.3.1.5

Simplifica.

$3 x \leq 2 x + 3$

Paso 1.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.3.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$3 x - 2 x \leq 3$

Paso 1.3.2

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$x \leq 3$

Paso 1.4

Obtén el dominio de $\sqrt{3 x} - \sqrt{2 x + 3}$ .

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Paso 1.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{3 x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 x \geq 0$

Paso 1.4.2

Divide cada término en $3 x \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.4.2.1

Divide cada término en $3 x \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{3}$

Paso 1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x \geq 0$

Paso 1.4.3

Establece el radicando en $\sqrt{2 x + 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x + 3 \geq 0$

Paso 1.4.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.4.1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x \geq - 3$

Paso 1.4.4.2

Divide cada término en $2 x \geq - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.4.4.2.1

Divide cada término en $2 x \geq - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Paso 1.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Paso 1.4.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 3}{2}$

Paso 1.4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.4.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \geq - \frac{3}{2}$

Paso 1.4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 1.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Paso 1.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 1.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{3 (- 2)} \leq \sqrt{2 (- 2) + 3}$

Paso 1.6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 1.6.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{3 (2)} \leq \sqrt{2 (2) + 3}$

Paso 1.6.2.3

$2.44948974$ del lado izquierdo es menor que $2.64575131$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 1.6.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{3 (6)} \leq \sqrt{2 (6) + 3}$

Paso 1.6.3.3

$4.24264068$ del lado izquierdo es mayor que $3.87298334$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 1.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 3$

Paso 2

Usa la desigualdad $0 \leq x \leq 3$ para crear la notación de conjunto.

${x | 0 \leq x \leq 3}$

Paso 3