Álgebra Ejemplos

$\frac{4 y^{2} - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $4 y^{2} - 18 y + 18$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $2$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 18 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.2

Factoriza.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 1.1.2.1.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 (y) + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.2.1.1.2

Reescribe $- 9$ como $- 3$ más $- 6$

$\frac{2 (2 y^{2} + (- 3 - 6) y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 y^{2} - 3 y - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((2 y^{2} - 3 y) - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y - 3$ .

$\frac{2 ((2 y - 3) (y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.3

Factoriza $y$ de $y^{3} - 6 y^{2} + 9 y$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} - 6 y^{2} + 9 y}$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $y$ de $- 6 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + 9 y}$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $y$ de $9 y$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + y \cdot 9}$

Paso 1.1.3.4

Factoriza $y$ de $y \cdot y^{2} + y (- 6 y)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza $y$ de $y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 9)}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 3^{2})}$

Paso 1.1.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Paso 1.1.4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2})}$

Paso 1.1.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 3$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Reduce la expresión $\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1.5.1

Factoriza $y - 3$ de $2 (2 y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{y {(y - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.5.2

Factoriza $y - 3$ de $y {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Paso 1.1.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Paso 1.1.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (2 y - 3)}{y (y - 3)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $y (y - 3)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.5.2

Divide $2 (2 y - 3)$ por $1$ .

$2 (2 y - 3) = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.7

Multiplica.

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Paso 1.7.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.7.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.8.1.1

Cancela el factor común.

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.8.1.2

Divide $A (y - 3)$ por $1$ .

$4 y - 6 = A (y - 3) + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y - 6 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.8.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$4 y - 6 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.8.4

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.8.4.1

Cancela el factor común.

$4 y - 6 = A y - 3 A + \frac{B (y (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.8.4.2

Divide $(B) (y)$ por $1$ .

$4 y - 6 = A y - 3 A + (B) (y)$

$4 y - 6 = A y - 3 A + B y$

Paso 1.9

Mueve $- 3 A$ .

$4 y - 6 = A y + B y - 3 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 6 = - 3 A$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $- 6 = - 3 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 3 A = - 6$ .

$- 3 A = - 6$

$4 = A + B$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- 3 A = - 6$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $- 3 A = - 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 3$ .

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $4 = A + B$ por $2$ .

$4 = (2) + B$

$A = 2$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $4 = 2 + B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 + B = 4$ .

$2 + B = 4$

$A = 2$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 4 - 2$

$A = 2$

Paso 3.3.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

Paso 3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 2 A = 2$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 2, A = 2$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{2}{y} + \frac{2}{y - 3}$